Question

高数问题 求帮忙

高数问题 求帮忙18题第二问怎么做呢 谢谢大家

Answer 1

（1）令lim(x->0+) f(x)/x=A<0
所以对ε=-A/2，存在d>0，对x满足0<x<d，有|f(x)/x-A|<-A/2
f(x)/x<A/2<0，f(x)<0，
取e满足0<e<min{d,1}<d，则f(e)<0
又因为f(1)>0，所以根据连续函数零点定理，f(x)在(e,1)内至少存在一个零点
即方程f(x)=0在区间(0,1)内至少存在一个实根
（2）f(x)f''(x)+[f'(x)]^2=[f(x)f'(x)]'
令g(x)=f(x)f'(x)，则g(x)在[0,1]上一阶可导
令方程f(x)=0在区间(0,1)内的一个实根为b，即f(b)=0
因为f(x)是x的同阶无穷小，所以f(0)=0
根据罗尔定理，在(0,b)上至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=0
综上所述，g(0)=g(ξ)=g(b)=0
则根据罗尔定理，在(0,ξ)和(ξ,b)上分别至少存在一个m和n，使得g'(m)=g'(n)=0
即[f(m)f'(m)]'=[f(n)f'(n)]'=0
方程f(x)f''(x)+[f'(x)]^2=0在(0,1)上至少存在两个实根