Question

求解向量积的问题

a,b均为向量

Answer 1

向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用也十分广泛，通常应用于物理学光学和计算机图形学中。

两个向量a和b的叉积写作a×b（有时也被写成a∧b，避免和字母x混淆）。

两个向量a和b的叉积写作a×b（有时也被写成a∧b，避免和字母x混淆）。[1] 

定义

向量积可以被定义为：

模长：（在这里θ表示两向量之间的夹角（共起点的前提下）（0°≤θ≤180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。）

方向：a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。（一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。）

也可以这样定义（等效）：

向量积|c|=|a×b|=|a||b|sin<a，b>

即c的长度在数值上等于以a，b，夹角为θ组成的平行四边形的面积。

而c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手定则从a转向b来确定。

*运算结果c是一个伪向量。这是因为在不同的坐标系中c可能不同。[1] 

坐标运算

设=（），=（）。i，j，k分别是X，Y，Z轴方向的单位向量，则[1] ：

a×b=（-）i+（-）j+（-）k，为了帮助记忆，利用三阶行列式，写成det

证明

为了更好地推导，我们需要加入三个轴对齐的单位向量i，j，k。

i，j，k满足以下特点：

i=jxk；j=kxi；k=ixj；

kxj=–i；ixk=–j；jxi=–k；

ixi=jxj=kxk=0；（0是指0向量）

由此可知，i，j，k是三个相互垂直的向量。它们刚好可以构成一个坐标系。

这三个向量的特例就是i=（1，0，0）j=（0，1，0）k=（0，0，1）。

对于处于i，j，k构成的坐标系中的向量u，v我们可以如下表示：

u=Xu*i+Yu*j+Zu*k；

v=Xv*i+Yv*j+Zv*k；

那么uxv=（Xu*i+Yu*j+Zu*k）x（Xv*i+Yv*j+Zv*k）

=Xu*Xv*（ixi）+Xu*Yv*（ixj）+Xu*Zv*（ixk）+Yu*Xv*（jxi）+Yu*Yv*（jxj）+Yu*Zv*（jxk）+Zu*Xv*（kxi）+Zu*Yv*（kxj）+Zu*Zv*（kxk）

由于上面的i，j，k三个向量的特点，所以，最后的结果可以简化为

uxv=（Yu*Zv–Zu*Yv）*i+（Zu*Xv–Xu*Zv）*j+（Xu*Yv–Yu*Xv）*k。[1] 

与数量积的区别

注：向量积≠向量的积（向量的积一般指点乘）

一定要清晰地区分开向量积（矢积）与数量积（标积）。见下表。

叉积的长度|a×b|可以解释成这两个叉乘向量a，b共起点时，所构成平行四边形的面积。据此有：混合积[abc]=（a×b）·c可以得到以a，b，c为棱的平行六面体的体积。

希望我能帮助你解疑释惑。

Answer 2

答案：B.sqrt(5) 。

数缺形时少直观，形缺数时少入微。因此直观起见，画出图像：

根据向量积(叉乘)的定义，b^a也为矢量，方向与a、b垂直，满足右手准则。大小计算可以见参考文献1。题目已给出大小。

根据向量三角形法则(见参考文献2)，b^a与b相减的矢量可画出。由图中的直角三角形，易得出 ：  b^a-b的大小=sqrt{(b^a)^2+b^2}=sqrt(2^2+1)=sqrt(5)

参考文献：

1.百度百科-向量积 

2.百度百科-向量加减

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Answer 3

叉乘所得即为一个向量，为了方便不妨设为一个新的向量，此向量同相叉乘的向量垂直。

未阐明之处还请追问

追问

所以平方是点乘吗？

追答

不错，n次方都是点乘