求下面这个幂级数的和函数

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cherish199610
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知道小有建树答主
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如图,这是这道题的过程

追问
那个4!不能简单地提出来吧
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百度网友8362f66
2019-06-05 · TA获得超过8.3万个赞
知道大有可为答主
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分享一种解法,借助微分方程求解。设S(x)=∑(x^4n)/(4n)!。
由S(x)对x求导4次,依次有S'(x)=∑[x^(4n-1)]/(4n-1)!、S''(x)=∑[x^(4n-2)]/(4n-2)!、S'''(x)=∑[x^(4n-3)]/(4n-3)!、S''''(x)=∑[x^(4n-4)]/(4n-4)!=S(x)。
显然,S(0)=1、S'(0)=S''(0)=S'''(0)=0。再有S''''(x)=S(x),是关于S(x)的4阶常系数微分方程。其特征根为±1、±i。∴其通解为S(x)=(c1)e^x+(c2)e^(-x)+(c3)sinx+(c4)cosx。
∴S(0)=c1+c2+c4=1、S'(0)=c1-c2+c3=0、S''(0)=c1+c2-c4=0、S'''(0)=c1-c2-c3=0。解得c1=c2=1/4、c3=0、c4=1/2。
∴原式=(1/4)[e^x+e^(-x)]+(1/2)cosx。
供参考。
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