求下面这个幂级数的和函数
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如图，这是这道题的过程
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那个4！不能简单地提出来吧
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亚远景信息科技
2024-12-11 广告
ASPICE，全称Automotive SPICE，中文译为汽车软件过程改进及能力评定，是评估和改进汽车软件开发流程的国际标准。它旨在提高软件开发的质量和效率，确保软件符合质量要求及安全、法规标准。ASPICE基于过程能力和过程改进两大核心...
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分享一种解法，借助微分方程求解。设S(x)=∑(x^4n)/(4n)!。
由S(x)对x求导4次，依次有S'(x)=∑[x^(4n-1)]/(4n-1)!、S''(x)=∑[x^(4n-2)]/(4n-2)!、S'''(x)=∑[x^(4n-3)]/(4n-3)!、S''''(x)=∑[x^(4n-4)]/(4n-4)!=S(x)。
显然，S(0)=1、S'(0)=S''(0)=S'''(0)=0。再有S''''(x)=S(x)，是关于S(x)的4阶常系数微分方程。其特征根为±1、±i。∴其通解为S(x)=(c1)e^x+(c2)e^(-x)+(c3)sinx+(c4)cosx。
∴S(0)=c1+c2+c4=1、S'(0)=c1-c2+c3=0、S''(0)=c1+c2-c4=0、S'''(0)=c1-c2-c3=0。解得c1=c2=1/4、c3=0、c4=1/2。
∴原式=(1/4)[e^x+e^(-x)]+(1/2)cosx。
供参考。
由S(x)对x求导4次，依次有S'(x)=∑[x^(4n-1)]/(4n-1)!、S''(x)=∑[x^(4n-2)]/(4n-2)!、S'''(x)=∑[x^(4n-3)]/(4n-3)!、S''''(x)=∑[x^(4n-4)]/(4n-4)!=S(x)。
显然，S(0)=1、S'(0)=S''(0)=S'''(0)=0。再有S''''(x)=S(x)，是关于S(x)的4阶常系数微分方程。其特征根为±1、±i。∴其通解为S(x)=(c1)e^x+(c2)e^(-x)+(c3)sinx+(c4)cosx。
∴S(0)=c1+c2+c4=1、S'(0)=c1-c2+c3=0、S''(0)=c1+c2-c4=0、S'''(0)=c1-c2-c3=0。解得c1=c2=1/4、c3=0、c4=1/2。
∴原式=(1/4)[e^x+e^(-x)]+(1/2)cosx。
供参考。
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