Question

三角形ABC中,O是AC边上的一个动点,过O作直线MN//BC,设MN交角BCA的平分线于E,交角BCA的外角平分线于F.

1)求证:EO=FO.
(2)当点O在AC上运动时，四边形BCFE是菱形吗？
3）当点O运动到何处，△ABC满足什么条件，四边形AECF是正方形

Answer 1

1 证明:∵MN//BC

           ∴∠OEC=∠BCE   

          ∴∠OFC=∠FCG

          ∵∠BCE=∠OCE(OE是∠BCA的内角平分线)

           ∴∠OEC=∠OCE

            ∴OE=OC

           ∵∠OCF=∠FCG(OF是∠BCA的外角平分线)

            ∴∠OCF=∠OFC

            ∴OF=OC

             ∴OE=OF

2 当O在AC上运动时,BCFE不是菱形.

3 当 △ABC是等腰直角三角形时,并且O运动到AC边中点时,四边形AECF是正方形.

    证明:∵∠C=90°CE是角分线

       ∴∠ACE=45°

       :∵OE//BC

             ∴∠FEC=45°

       ∴OE=OC

            ∵OC=OA(已知)

           ∴OC=OA=OE=OF

           ∵AC⊥EF

           ∴AECF是正方形.

Answer 2

∵CE平分∠ACB
∴∠ACE=∠BCE
∵MN‖BC
∴∠BCE=∠OEC
∴∠OEC=∠OCE
∴OE=OC
同理：OF=OC
∴OE=OF
（2）当O为AC中点是四边形AECF为矩形
证明：∵OA=OC，OE=OF
∴四边形AECF是平行四边形
∵OE=OC=OF
∴∠ECF=90°
∴四边形AECF是矩形