Question

过抛物线x^2=2py(p>0)的焦点的直线与抛物线交与A，B两点，Q为AB中点

（1）当直线AB绕焦点旋转时，求动点Q的轨迹C的方程：（2）过点A,B分别做平行与y轴的直线交曲线C与点M和N，问是否存在直线AB使三角形MNQ的面积值为2p^2，若存在，求出直线AB的斜率k；若不存在，说明理由

Answer 1

【【注：用“参数法”】】
解：
【【1】】∵点A,B均在抛物线x²=2py上，
∴可设两点坐标为：
A(2pa,2pa²).B(2pb,2pb²),(a,b∈R,a≠b).
易知，三点A,B,F(0,p/2)共线，
∴直线FA直线FB的斜率Kfa=Kfb.
由此可得：4ab=-1.
设线段AB的中点Q(x,y),由中点坐标公式可得：
X=pa+pb,y=pa²+pb².结合4ab=-1消去参数a,b,即得中点轨迹方程：
X²=p[y-(p/2)].
【【2】】
易知，M(2pa,4pa²+(p/2)).N(2pb,4pb²+(p/2)).
由题设及三角形面积的行列式计算公式可得：
|a-b|³=2.不妨设a＞b.则a-b=2^(1/3).结合4ab=-1及韦达定理可知，
a和-b可看成是关于x的方程：x²-2^(1/3)x+(1/4)=0的两根。
⊿=4^(1/3)-1＞0.
∴满足题设的直线AB存在.易知，其斜率K=a+b.
【【3】】
现在求斜率K.
∵(a+b)
²=(a-b)
²+4ab.且|a-b|=2^(1/3),4ab=-1.
∴(a+b)
²=4^(1/3)-1.
∴K=a+b=±√[4^(1/3)-1].