Question

9年级数学题

1.如图（1）E是菱形ABCD边AD的中点，EF⊥AC于H，交BC的延长线于F，交AB于G，
（1）求证：EF‖DB
（2）求证AB与EF相互平分。

2.如图（2）CF，CE分别是△ABC的内角、外角的角平分线，O是边AC上的一动点，过O作BD的平分线分别交CF，CE于F,E
（1）若OC=1，求EF的长；
（2)当点O在边AC上什么位置上时，四边形AFCE是矩形？试证明你的发现。
。

Answer 1

1. (1) 菱形的对角线相互垂直， AC⊥BD. EF⊥AC, 所以EF‖DB
(2) 菱形是平行四边形的特例，对角线相互平分, AB＝AD， BO＝DO， AO＝AO
两三角形ABO, ADO全等, 角AEH = 角AGH
角AHE = 角AHG (= 90度), AH=AH, 两三角形AGH, AEH全等
AG = AE = GB (菱形边长的一半)
FC‖AD
角F = 角AEG
角AGE = 角BGF
三角形FBG, EAG全等
EG = FG, AB与EF相互平分.

2 (1) FE‖BC, 角OFC = 角BCF = 角OCF
三角形是等腰三角形，FO = OC = 1
类似地, OE=OC = 1
EF = OE + FO = 2
(2) 当O为AC的中点时，OF＝OC＝CE＝OA， AC与EF为直径， 四边形AFCE的顶角都是直角。

Answer 2

1. 菱形ABCD对对角线互相垂直，即BD⊥AC
又EF⊥AC，所以EF‖DB

菱形ABCD的邻边相等，即AD=AB
E是AD的中点，EF‖DB，所以AG=AE=GB，即G是AB的中点
所以△AEG全等于△BFG，所以GF=GE，G也是EF的中点

2.由于对△ABC没有特殊限制，可用特例方法快速求解
不妨假设<ACB=90度，依题意，此时<FCE=90度，且FC=CE
△FCE为等腰直角三角形，
当OC=1时，可求出△FCE的斜边长EF=2

要使四边形AFCE是矩形，一定满足O点即是AC的中点，又是EF的中点，且AC=EF
因为如果不满足这一条件就不是矩形

Answer 3

1 (1)ABCD是菱形，则其对角线相互垂直平分，所以有BD⊥AC，又EF⊥AC，所以EF//DB
(2)，E是AD的中点，又EF//DB，所以EG是三角形ABD的中位线，所以G是AB的中点，又ED//BF，且EF//DB，所以BDEF为平行四边形，所以EF=BD，又所以EG是三角形ABD的中位线，所以EG=BD/2，所以FG=EG，所以G是EF的中点，所以AB与EF相互平分

2 （1）D点不确定能做吗？

Answer 4

1(1)菱形ABCD中，AC⊥BD，EF⊥AC，所以EF‖DB
(2)因为E是AD中点，EF‖DB,所以G是AB中点，AG=GB,角EAG=角ABF，角AGE=角FGB，所以三角形AGE全等于BGF,所以FG=GE,G是EF中点，所以AB与EF相互平分

2（1）因为角BCF=角FCO，角OCE=角ECD，所以角FCO+角OCE=90度，所以三角形FCE是直接三角形，且FE‖BD，所以角OFC=角BCF=角FCO，则FO=OC.同理OE=OC.所以O是EF中点，所以EF=2OC=2
(2)点O是AC中点时，四边形AFCE是矩形。因为AO=OC,OF=OE,角AOF=角EOC，所以三角形AOF全等于三角形COE，所以角AFO=角OEC，所以AF‖CE，同理三角形AOE全等于三角形COF，所以AE‖方程，且角FCE=90度，所以四边形AFCE是矩形

Answer 5

第一题：（1）因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD
由题有EF⊥AC
EF⊥AC且BD⊥AC，故EF‖BD
（2）因为EF‖BD，DE‖BF
所以BDEF是平行四边形
所以DE=BF，而E是AD的中点
所以AE‖BF且AE=BF，而∠BGF=∠AGE
故△BGF≌△AGE
所以AG=BG,EG=FG，即AB和EF互相平分。
第二题是不是题目叙述的有点问题啊？

Answer 6

1.
证明：
(1)∵四边形ABCD是菱形
∴BD⊥AC
∵EF⊥AC
∴EF‖BD
（2）连接AF、BE
∵EF‖BD，BF‖ED
∴四边形BFED是平行四边形
∴BF=ED
∵AE=ED
∴BF=AE
∴四边形AFBE是平行四边形
∴AB、EF互相平分
2.
(1)∵EF‖BC
∴∠OFC=∠BCF
∵CF平分∠ACB
∴∠BCF=∠OCF
∴∠OCF=∠OFC
∴OF=OC=1
同理可得OE=OC=1
∴EF=2
(2)O在AC中点时，四边形AECF是矩形
证明：
∵OE=OF，OA=OC
∴四边形AECF是平行四边形
∵OF=OC=OE
∴∠ECF=90°
∴四边形AECF是矩形