Question

求助微分方程解题！

需要过程，哪位学长指导一下！谢谢

Answer 1

y''+a^2.y = sinx

The aux. equation

p^2+a^2 =0

p=ai or -ai

case 1: 0<a<1 or a>1

let

yg= Acos(ax) +Bsin(ax)

yp= Csinx +Dcosx

yp'= Ccosx -Dsinx

yp''=-Csinx -Dcosx

yp''+a^2.yp = sinx

-Csinx -Dcosx +a^2.(Csinx +Dcosx) = sinx

C(-1 +a^2)sinx +D(-1+a^2).cosx = sinx

C =1/(-1 +a^2) and D=0

通解

y=yg+yp = Acos(ax) +Bsin(ax) +[1/(-1 +a^2) ]sinx

case 2: a=1

p=i or -i

let

yg= Acosx +Bsinx

yp =x( Csinx +Dcosx )

yp' = Csinx +Dcosx + x( Ccosx -Dsinx )

yp'' 

=Ccosx -Dsinx + ( Ccosx -Dsinx ) +x( -Csinx -Dcosx )

=2Ccosx -2Dsinx +x( -Csinx -Dcosx )

yp''+yp = sinx

2Ccosx -2Dsinx +x( -Csinx -Dcosx ) +x( Csinx +Dcosx ) = sinx

2Ccosx -2Dsinx  = sinx

D =-1/2 and C=0

y=yg+yp = Acosx +Bsinx  -(1/2)xcosx

追问

谢谢您的回复，好长的答案，我还得看一下，辛苦了！

Answer 2

特征方程s^2+a^2=0, 特征根为ai, -ai
所以通解为
y=c1 sinax + c2 cosax
取特解y* = csinx, 带入得到
-c + a^2 c =1, c=1/(a^2-1)
所以方程解为 y = c1 sinax + c2 cosax +sinx/(a^2-1)

追问

好的，谢谢您！我先学习一下