Question

已知函数f（x），对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＜0...

已知函数f（x），对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＜0时，f（x）＞0，且f（-1）=2 （1）求f（0）的值 （2）求证：函数f（x）为奇函数； （3）判断函数f（x）的单调性，并求函数f（x）在[-2，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）得：f（0+0）=f（0）+f（0），f（0）=0（4分）
（2）证明：∵函数f（x）的定义域为R，令y=-x得f（x-x）=f（x）+f（-x）∴f（x）+f（-x）=f（0）=0，∴函数f（x）是奇函数．（10分）
（3）设x1，x2∈R且x1＜x2，则x1-x2＜0，∵当x＜0时，f（x）＞0，∴f（x1-x2）＞0∴f（x1）+f（-x2）＞0，即f（x1）-f（x2）＞0∴f（x1）＞f（x2）
∴函数f（x）为R上的单调减函数，∴函数f（x）在[-2，1]上的最大值fmax（x）=f（-2）=f（-1）+f（-1）=2+2=4，fmin（x）=f（1）=-f（-1）=-2．（16分）