Question

二次函数f(x)的图像过点(0,2),并关于y轴对称,且方程f(x)=2x有两个...

二次函数f(x)的图像过点(0,2),并关于y轴对称,且方程f(x)=2x有两个相等的实数根,将f（x）的图像向右平移 1个单位向下平移3/2个单位 得到g(x)的图像 试问是否存在实数mn,使函数g(x)在区间【n,n+2】上是单调函数,且其值域为【m,m+2】?若存在 求mn值；若不存在 说明理由

Answer 1

设f(x)=ax^2+bx+c,a≠0,依题意f(0)=0+0+c=2所以c=2.又f(x)关于x=0对称则-b/2a=0则b=0此时f(x)=ax^2+2.将f(x)=2x和f(x)=ax^2+2联立有根满足方程ax^2-2x+2=0,只有一个根则Δ=b^2
-4ac=4-8a=0所以a=1/2
所以f(x)=1/2x^2+2
g(x)=1/2(x-3/2)^2+2=1/2x^2-3/2x+25/8
若存在这样的实数mn且f(x)在[n,n+2]单调,则定义域为[n,n+2]和值域为[m,m+2]的含义是：g(x)上存在两个点,在这两个点的定义域[n,n+2]内有值域[m,m+2].若将过则两个点的直线关于对称轴x=3/2做对称,则形成的新的直线显然也符合条件,但单调性相反.

固假设存在这样的实数mn,使得g(x)在区间[n,n+2]上单调增加,则两个交点分别为(n,m)和(n+2,m+2)且n,m＞3/2.则过这两点的直线斜率为2/2=1,所以可以设过这两点的直线方程为y=x+k.带入g(x)内有等式x^2-5x+(25/4-2k)=0,有两个解则Δ=b^2-4ac＞0则25-4*(25/4-2k)=8k＞0.由于我们假设是单增部分所以x1=n≥3/2,x2=x1+2=n+2≥7/2,根据韦达定理x1+x2=-b/a=5,而x1+x2=n+(n+2)≥3/2+7/2=5,所以n只能等于3/2.n+2=7/2,x1x2=25/4-2k
=21/4,所以k=1/2,直线方程为y=x+1/2.将n=3/2带入直线方程有m=2.将点(3/2,2)和(7/2,4)带回到g(x)中发现这两个点在g(x)上.

将(3/2,2)和(7/2,4)关于对称轴x=3/2做对称可以得到另一组答案(3/2,2)和(-1/2,4).所以存在这样的数n=3/2,m=2满足g(x)在区间[3/2,7/2]内单调递增且值域在[2,4]之内或n=-1/2,m=2满足g(x)在区间[-1/2,3/2]内单调递减且值域在[2,4]之内.