Question

设函数y=f(x)满足方程 y"-2y'+y=e^x.其图形在(0，1)处切线与曲线y=x+1在该点处切线重合.求函数y的解析表达式.

Answer 1

问：设函数y=f(x)满足方程 y"-2y'+y=e^x.其图形在(0，1)处切线与曲线y=x+1在该点处切线重合.求函数y的解析表达式.

答：函数y在(0，1)处的切线的方程为y=x+1。再根据题目中给出的方程y"-2y'+y=e^x，我们可以得到函数y的解析表达式为：y=c1e^x+c2e^(-x)由于y在(0，1)处的切线的方程为y=x+1，所以当x=0时，y=c1e^0+c2e^0=c1+c2。再根据题意，函数y在(0，1)处的切线与y=x+1在该点处的切线重合，所以在x=0时，y=x+1=0+1=1。综上所述，当x=0时，y=c1+c2=1，所以c1+c2=1。根据题目给出的信息，我们可以得到函数y的解析表达式为：y=c1e^x+c2e^(-x)

答：为了求出c1和c2的具体值，我们可以尝试求出y在另一个点处的值，并根据该点处的值来求出c1和c2的具体值。例如，我们可以尝试求出y在x=1处的值，并根据该点处的值来求出c1和c2的具体值。当x=1时，y=c1e^1+c2e^(-1)。根据题意，函数y在(0，1)处的切线与y=x+1在该点处的切线重合，所以在x=1时，y=x+1=1+1=2。因此，当x=1时，y=c1e^1+c2e^(-1)=2。将这个等式代入我们之前得到的c1+c2=1的等式中，得到：c1e^1+c2e^(-1)=2化简得：c1*e+c2/e=2设d=e，则上式可化为：c1*d+c2/d=2两边同时乘上d，得：c1d^2+c2=2d由此可以得到一个方程：c1d^2+c2-2d=0

答：首先，我们可以求出d的值，即d=sqrt(2)。将d的值代入方程中，得到：c1sqrt(2)^2+c2-2sqrt(2)=0化简得：c12+c2-2sqrt(2)=0由此可以得到c1的表达式：c1=(2-c2*sqrt(2))/2我们可以将这个表达式代入之前的方程c1+c2=1中，得到：(2-c2*sqrt(2))/2+c2=1化简得：c2=1/(1+sqrt(2))由此可以得到c1的表达式：c1=(2-c2*sqrt(2))/2将c2的表达式代入c1的表达式中，得到：c1=(2-(1/(1+sqrt(2)))*sqrt(2))/2化简得：c1=1/(1+sqrt(2))最终，我们得到函数y的解析表达式为：y=c1e^x+c2e^(-x)=1/(1+sqrt(2))*e^x+1/(1+sqrt(2))*e^(-x)这就是函数y的解析表达式。