用三重积分推导球体积和表面积公式
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首先定义球的方程为 x^2+y^2+z^2=r^2x 2 +y 2 +z 2 =r 2 ，其中 rr 为球的半径。为了求出球的体积，我们可以对球体积的分式进行三重积分。假设球的密度分布为 f(x,y,z)f(x,y,z)，则球的体积可以用三重积分式表示为：V=\iiint\limits_{\Omega}f(x,y,z)\,dxdydzV= Ω∭ f(x,y,z)dxdydz其中，\OmegaΩ 是球体的空间区域，可以用球的方程描述：\Omega : x^2+y^2+z^2\leq r^2Ω:x 2 +y 2 +z 2 ≤r2
首先定义球的方程为 x^2+y^2+z^2=r^2x 2 +y 2 +z 2 =r 2 ，其中 rr 为球的半径。为了求出球的体积，我们可以对球体积的分式进行三重积分。假设球的密度分布为 f(x,y,z)f(x,y,z)，则球的体积可以用三重积分式表示为：V=\iiint\limits_{\Omega}f(x,y,z)\,dxdydzV= Ω∭ f(x,y,z)dxdydz其中，\OmegaΩ 是球体的空间区域，可以用球的方程描述：\Omega : x^2+y^2+z^2\leq r^2Ω:x 2 +y 2 +z 2 ≤r2
咨询记录 · 回答于2023-05-25
用三重积分推导球体积和表面积公式
亲亲,很高兴为您解答哦首先定义球的方程为 x^2+y^2+z^2=r^2x 2 +y 2 +z 2 =r 2 ，其中 rr 为球的半径。为了求出球的体积，我们可以对球体积的分式进行三重积分。假设球的密度分布为 f(x,y,z)f(x,y,z)，则球的体积可以用三重积分式表示为：V=\iiint\limits_{\Omega}f(x,y,z)\,dxdydzV= Ω∭ f(x,y,z)dxdydz其中，\OmegaΩ 是球体的空间区域，可以用球的方程描述：\Omega : x^2+y^2+z^2\leq r^2Ω:x 2 +y 2 +z 2 ≤r2
首先定义球的方程为 x^2+y^2+z^2=r^2x 2 +y 2 +z 2 =r 2 ，其中 rr 为球的半径。为了求出球的体积，我们可以对球体积的分式进行三重积分。假设球的密度分布为 f(x,y,z)f(x,y,z)，则球的体积可以用三重积分式表示为：V=\iiint\limits_{\Omega}f(x,y,z)\,dxdydzV= Ω∭ f(x,y,z)dxdydz其中，\OmegaΩ 是球体的空间区域，可以用球的方程描述：\Omega : x^2+y^2+z^2\leq r^2Ω:x 2 +y 2 +z 2 ≤r2
为了计算该积分，我们采用球坐标系，将空间区域\OmegaΩ转化为参数域\omegaω，并且设f(x,y,z)=1f(x,y,z)=1，即球的密度分布是一个常数值。则有：V=\iiint\limits_{\omega}r^2\sin\varphi\,drd\thetad\varphiV=ω∭r2sinφdrdθdφ其中，\thetaθ为经度，\varphiφ为纬度。根据球坐标系中的变量关系，有：\begin{cases}x=r\sin\varphi\cos\theta\\y=r\sin\varphi\sin\theta\\z=r\cos\varphi\end{cases}x=rsinφcosθy=rsinφsinθz=rcosφ
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本回答由东莞大凡提供