Question

高中数学值域不等式问题

1。在1<X<3上求F(X)=2^(X+2)-4^X的值域

2。不等式X+2/（X+2）＞2的解集?

要有详细过程 简洁易懂
2。不等式X+[2/（X+2）]＞2的解集?

Answer 1

(1)
f(x) = 4 * 2^x - 4*x
f'(x) = 4ln2 * 2^x - ln4 * 4^x
令f'(x)=0
解得x=1
对于x>1, f'(x)<0
所以f(x)在(1,3)递减
所以f(x)∈(f(3),f(1))，即，(-32,4)

(2)
x-2 + 2/(x+2) > 0
进行通分，
(x^2-2)/(x+2) > 0
不等式两边同时乘以分母的平方，
(x+2)(x+√2)(x-√2)>0
由多次函数串线法：
x的解集为(-2, -√2)∪(√2, +∞)

Answer 2

1，先换元，设2^x=m 因为1<X<3 所以2<m<8 即求 F（m）=4m-m^2 的值域
根据2次函数 求值域可知值域为（-32，4）
2，2 移到左边 通分 得（x^2-2）/(x+2)>0
(x-√2)(x+√2)(x+2)>0 得出解集为（-2,-√2）∪（√2 ,+∞)
3,用线性规划把图画出，得出一个封闭的三角形 再数里面有几个整数点，得出答案是7

Answer 3

第一题可以采用的是替换法 令t=2^x 2<t<8 (指数函数的单调性）
F(X)=F(t)=4t-t^2 然后在配方画图 这样就很容易了

Answer 4

哎，求值域我忘了，好久没看书了，
x+2/（x+2）>2
x+2>2(x+2)
x+2>2x+4
x<-2