Question

求解高二空间向量题

已知半径为4的球面上有A,B,C,D 四点，且满足 向量AB·向量AC=0，向量AC·向量AD=0，向量AD·向量AB=0，试求S△ABC+S△ACD+S△ADB的最大值

Answer 1

由条件知AB、AC、AD两两垂直，则ABCD可看作长方体从同一顶点出发的三条棱上的四个顶点，它们所在的球即为长方体的外接球，设AB=a、AC=b、AD=c，则a^2+b^2+c^2=8^2=64,
S△ABC+S△ACD+S△ADB=(a*b+b*c+c*a)/2，
而a^2+b^2+c^2=（a^2+b^2）/2+（c^2+a^2）/2+（b^2+c^2）/2>=ab+ac+bc，所以
ab+ac+bc<=64，当且仅当a=b=c时取等号
所以S△ABC+S△ACD+S△ADB<=32。