Question

如图,在平面直角坐标系中,点B的坐标为(-3,-4),线段OB绕原点逆时针旋转后

28．(13分)如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为(－3，－4)，线段OB绕原点逆时针旋转后与x轴的正半轴重合，点B的对应点为点A．
(1)直接写出点A的坐标，并求出经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点C，使BC＋OC的值最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点P是抛物线上的一个动点，且在x轴的上方，当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？求出此时点P的坐标和△PAB的最大面积．

Answer 1

(1) A:(5,0) (勾股定理得)
(2)设解析式为Y=aX²+bX+C
∵图像过点A、O、B
∴0=25a+5b
-4=9a-3b
解得a=1/6
b=5/6
解得解析式为Y=-1/6X²+5/6X
(3) Y=-1/6X²+5/6X
=-1/6(X²-5X)
=-1/6(X²-5X+6.25-6.25)
=-1/6(X-2.5)²+25/24
∵a＜0
∴图像开口向下
图像有最大值
但X=2.5时，Y有最大值=25/24
接下来就计算面积了，要先切成3份计算。
还要作一个一次函数（直线BP）

接下来的步骤很麻烦，计算超烦的，你只有30分，接下来你自己做吧！
或者追加多些分数吧！

Answer 2

1) A:(5,0) (勾股定理得)
(2)设解析式为Y=aX²+bX+C
∵图像过点A、O、B
∴0=25a+5b
-4=9a-3b
解得a=1/6
b=5/6
解得解析式为Y=-1/6X²+5/6X
(3) Y=-1/6X²+5/6X
=-1/6(X²-5X)
=-1/6(X²-5X+6.25-6.25)
=-1/6(X-2.5)²+25/24
∵a＜0
∴图像开口向下
图像有最大值
但X=2.5时，Y有最大值=25/24
接下来就计算面积了，要先切成3份计算。
还要作一个一次函数（直线BP）

接下来的步骤很麻烦，计算超烦的，你只有30分，接下来你自己做吧！
或者追加多些分数吧！

Answer 3

1）点A的坐标（5，0），
设抛物线的解析式为y=ax2+bx，
∴-4=a(-3)2+b(-3)0=25a+5b​，
∴a=-
16，b=
56，
∴y=-
16x2+
56x；

（2）由于A、O关于抛物线的对称轴对称，连接AB，
则AB与抛物线对称轴的交点即为所求的C点；
易求得直线AB的解析式为：y=12x-52，
抛物线的对称轴为x=-
b2a=52，
当x=52时，y=12×52-52=-54；
∴点C的坐标为（52，-54）；

（3）过P作直线PM∥y轴，交AB于M，
设P（x，-16x2+56x），则M（x，12x-52），
∴PM=-16x2+56x-（12x-52）=-16x2+13x+52，
∴△PAB的面积：S=S△PAM+S△PBM
=12PM•（5-52）+12PM•（52+3）
=12×（-16x2+13x+52）×（5+3）
=-23x2+43x+10
=-23（x-1）2+323，
所以当x=1，即P（1，23）时，△PAB的面积最大，且最大值为323．

Answer 4

(1)由|0B|=5有A(5,0) ,抛物线过原点所以设y=ax2+bx,代入A、B两点坐标,求出a、b即可(2)设存在C点,由|OC|=|AC|,BC+OC=AC+BC,两点间直最短,AB与对称轴交点即为C,坐标易得.