Question

1.已知函数f（x）=x分之x²+2x+1/2，其中x∈〖1，正无穷)，试求它的最小值 2.若函数h（x）=2x-k/x+k/3

若函数h（x）=2x-k/x+k/3在（1，正无穷）上是增函数，则实数K的取值范围是?

Answer 1

解：
f(x)=(x^2+2x+1/2)/x
=x+2+1/(2x) 利用均值不等式
>=2+2√(1/2)=2+√2
当且仅当x=√2/2时，取等号
但是x∈〖1，正无穷)，所以当x=1时有最小值
即最小值为1+2+1/2=7/2

补充第二题的解答:

h(x)=2x-k/x+k/3
若k≥0，易知h(x)在R单调增，符合题意
若k<0，设x2，x1∈（1，+∞），且x2>x1，
此时h(x2)-h(x1)=2(x2-x1)+k(x2-x1)/x1x2=(x2-x1)(2+k/x1x2)
要满足h(x)为增函数，只需h(x2)-h(x1)>0
而x2-x1>0恒成立
∴2+k/x1x2>0，即
k>-2x1x2≥-2
综上，k∈[-2,+∞)

当然，如果学过导数，就更方便
h'(x)=2+k/x^2>0(x>1),
∴h'(1)=2+k≥0,
k≥-2

Answer 2

可以将函数f(x)化为f(x)=(x＋1/2x)＋2，利用基本不等式，但要注意等号取得的条件是x=1/2x(此法不行)；或者利用导数的单调性来求最值(可以)。第二小问，由于有字母k，利用导数后应该加以讨论的。

Answer 3

7/2