Question

数学高手帮忙解一道函数题目，谢谢

已知函数f(x)=cos^2(x+π/12),g(x)=1+1/2sin2x
1)设x=x0是函数y=f(x)图像的一条对称轴，求g(x0)的值；
2）求函数h(x)=f(x)+g(x)的单调递增区间
麻烦给我很详细的过程，尤其是化简过程，我基础很差，谢谢

Answer 1

①f(x)=cos^2(x+π/12)=(1+ cos(2x+π/6))/2,
三角函数图像的对称轴必定穿过最高点或最低点，所以cos(2x0+π/6)=1或-1。
∴2x0+π/6= kπ,k∈Z. x0= kπ/2-π/12,k∈Z.
g(x0) =1+1/2sin2x0=1+1/2sin(kπ-π/6) =1±1/2=3/2或1/2.
②函数h(x)=f(x)+g(x)= cos^2(x+π/12)+1+1/2sin2x
=(1+ cos(2x+π/6))/2+1+1/2sin2x
= cos(2x+π/6)/2+1/2sin2x+3/2
=1/2(cos2xcosπ/6-sin2xsinπ/6) +1/2sin2x+3/2
=√3/4cos2x-1/4sin2x+1/2sin2x+3/2
=√3/4cos2x+1/4sin2x+3/2
=1/2(√3/2cos2x+1/2sin2x) +3/2
=1/2(cos2xcosπ/6+sin2xsinπ/6) +3/2
=1/2 cos (2x-π/6) +3/2
2kπ-π≤2x-π/6≤2kπ，k∈Z.
kπ-5π/12≤x≤kπ+π/12，k∈Z.
∴函数的单调递增区间是[kπ-5π/12, kπ+π/12] ，k∈Z.

Answer 2

1)f(x)=(1+cos(2x+π/6))/2，所以x0=kπ/2-π/12，g(x0)=g(kπ-π/6)=1+1/2sin(kπ-π/6)=5/4(k为奇数）或3/4(k为偶数）
2）h(x)=3/2+1/2cos(2x+π/6)+1/2sin2x=3/2+1/2(√3/2cos2x+1/2sin2x+sin2x)=3/2+√3/2(1/2cos2x+√3/2sin2x)=3/2+√3/2cos(2x+π/3)，所以它的单调递增区间是[kπ+π/3，kπ+5π/6）