Question

求一道数学题答案

已知函数f(x)=(1/3)a^2x^3+3ax^2+8x,g(x)=x^3+3m^2x-8m
(1)求f(x)在x=1处的切线斜率的取值范围
(2)求当f(x)在x=1处的切线的斜率最小时,f(x)的解析式
(3)在(2)的条件下,是否总存在实数m,使得对任意x1属于[-1,2],总存在x0属于[0,1]使得g(x0)=f(x1)成立?若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,说明理由.

谢谢!

Answer 1

(1) f(x)=(1/3)a^2x^3+3ax^2+8x,
f'(x)=a^2x^2+6ax+8
f'(1)=a^2+6a+8=(a+3)^2-1
所以f(x)在x=1处的切线斜率范围为[-1,+∞)
(2) 当f'(1)=-1时,a=-3
所以代入方程式中得到f(x)=3x^3-9x^2+8x
(3)f(x)=3x^3-9x^2+8x
在x1属于[-1,2]上,f'(x)>0,所以f(x)单调递增,值域=[f(-1),f(2)]=[-20,4]
要使总存在x0属于[0,1]使得g(x0)=f(x1)成立,则g(x)在[0,1]上的值域需包含[-20,4]
g'(x)=3x^2+3m^2,在[0,1]上恒大于等于0,
所以g(x)在[0,1]上的值域为[g(0),g(1)]=[-8m,3m^2-8m+1]
最后要满足:
-8m≤-20 ∧ 3m^2-8m+1≥4
最后的结果是m∈[3,+∞)