已知定义在R上的函数f(x)满足f(㏒2x)=x+a/x,a为常数
已知定义在R上的函数f(x)满足f(㏒2x)=x+a/x,a为常数。(1)求函数f(x)的解析式及定义域(2)如果f(x)为偶函数。求a的值(3)当f(x)为偶函数时,用...
已知定义在R上的函数f(x)满足f(㏒2x)=x+a/x,a为常数。
(1)求函数f(x)的解析式及定义域
(2)如果f(x)为 偶函数。求a的值
(3)当f(x)为偶函数时,用单调性定义讨论f(x)的单调性 展开
(1)求函数f(x)的解析式及定义域
(2)如果f(x)为 偶函数。求a的值
(3)当f(x)为偶函数时,用单调性定义讨论f(x)的单调性 展开
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解:(1)设log2(x)=t
x=2^t
=>f(t)=2^t+a/(2^t)
=>f(x)=2^x+a/(2^x) (x∈R)
(2)依题意,f(x)=f(-x)=2^(-x)+a/[2^(-x)]
=>1/含让(2^x)+a(2^x)=2^x+a/(2^x)
转化为恒成立问题,易得a=1
(3)设x1<谈散局x2<0
f(x1)-f(x2)=...(运算省略)={(2^x1-2^x2)[2^(x1+x2)-1]}/2^(x1+x2)..................①
由x1<x2<0可得2^x2>2^x1,2^(x1+x2)<1
=>f(x1)-f(x2)<0
=>f(X1)<f(x2)
=>f(x)在(-∞,0)上递增
同掘世理可证得f(x)在(0,+∞)上递减.
x=2^t
=>f(t)=2^t+a/(2^t)
=>f(x)=2^x+a/(2^x) (x∈R)
(2)依题意,f(x)=f(-x)=2^(-x)+a/[2^(-x)]
=>1/含让(2^x)+a(2^x)=2^x+a/(2^x)
转化为恒成立问题,易得a=1
(3)设x1<谈散局x2<0
f(x1)-f(x2)=...(运算省略)={(2^x1-2^x2)[2^(x1+x2)-1]}/2^(x1+x2)..................①
由x1<x2<0可得2^x2>2^x1,2^(x1+x2)<1
=>f(x1)-f(x2)<0
=>f(X1)<f(x2)
=>f(x)在(-∞,0)上递增
同掘世理可证得f(x)在(0,+∞)上递减.
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