Question

高中数列，求高人解答！

已知各项均为正数的数列{an}满足a1=3,[2a(n+1)-an]/[2an-a(n+1)]=an*a(n+1)。
（1）求证：数列{an-1/an}是一个等比数列（此问我已经做出来了）
（2）求数列{an}的通项公式
（3）设Sn=a1^2+a2^2+......an^2,Tn=1/a1^2+1/a2^2+......1/an^2,试求Sn+Tn,并确定最小的n使Sn+Tn为整数
求（2）（3）过程及正确答案！

Answer 1

[2a(n+1)-an]/[2an-a(n+1)]=an*a(n+1)
左右同除以an*a(n+1)再去分母：
2/an-1/a(n+1)＝2an-a(n+1)
移项：a(n+1)-1/a(n+1)＝2（an-1/an）
∴数列{an-1/an}是一个等比数列，公比q＝2
首项＝a1-1/a1＝8/3

（2）an-1/an＝(a1-1/a1)·q^(n-1)＝4/3·2^n
左边去分母并移项：3an²-2^(n+2)·an-3＝0
解关于an的二元一次方程(注意an>0)：
an＝{ 2^(n+1)+√[4^(n+1)+9] }/3 (n＝1时代入验证,a1=3成立)

（3）由于an-1/an＝4/3·2^n
两边平方：an²-2+1/an²＝16/9·4^n
∴an²+1/an²＝16/9·4^n +2
∴Sn+Tn
＝(a1²+1/a1²)+(a2²+1/a2²)+(a3²+1/a3²)+……+(an²+1/an²)
＝2n+16/9·[4+4^2+4^3+……+4^n]
＝2n+64/27·(4^n-1)