Question

双曲线与圆的问题。

P为双曲线x²-y²/15=1右支上一点，M，N分别是圆（x+4）²+y²=4和（x-4）²+y²=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为

答案是5，怎么来的？

Answer 1

答：
双曲线x²-y²/15=1
a²=1，b²=15，c²=a²+b²=16
解得：c=4，a=1
所以：双曲线的焦点为F1（-4,0）和F2（4，0）
所以：双曲线的焦点与两圆的圆心重合
(x+4)²+y²=4，圆心F1（-4，0），半径R=2
(x-4)²+y²=1，圆心F2（4,0），半径r=1
根据定义有：
PF1-PF2=2a=2
PM最大值为PF1+R
PN最小值为PF2-r
所以：PM-PN最大值=PF1+R-PF2-r=2+2+1=5
所以：最大值为5

点M在PF1延长线与圆的交点处
点N在PF2与圆的交点处

Answer 2

两个圆的圆心就是双曲线的焦点，所以P到两圆心的距离之差为定值2a=2，p，m，m所在圆的圆心a可构成三角形，所以pm最大值是pa+2，同理p，n，n所在圆的圆心b可构成三角形，所以pn最小值是pb-2，所以pm-pn的最大值是pa-pb+4=2+4=6
个人见解，仅供参考。

追问

答案是5哦。