Question

设函数f（x)=e^2x-2e^x+1(x属于R） （1）求函数f(x)的最小值； （2）证明：函数f(x)在区间(1,+无穷大）上

设函数f（x)=e^2x-2e^x+1(x属于R） （1）求函数f(x)的最小值； （2）证明：函数f(x)在区间(1,+无穷大）上是增加的。

Answer 1

设函数f（x)=e^2x-2e^x+1(x属于R）。取t=e^x,所以g(t)=t^2-2t+1=（t-1)^2 (t属于R*）。
（1）则函数f(x)的最小值=g(1)=0,，t=1,x=0时；
（2）证明：函数f(x)在区间(1,+无穷大）上是增加的。
由x>1,所以t>e,,
因为g(t)=t^2-2t+1=（t-1)^2 (t属于R*）在t>1时，是增函数，所以函数f(x)在区间(1,+无穷大）上是增加的

Answer 2

当x=0时函数f(x)取得最小值
函数f(x)的最小值=0

Answer 3

（1）f（x)=e^2x-2e^x+1=(e^x-1)^2>=0
所以f（x）最小值为0，此时x=0
（2）f‘（x）=2（e^x-1）e^x
当x>1时，有e^x-1>0,e^x>0
f’（x）>0
所以函数f(x)在区间(1,+无穷大）上是增加的。