Question

三角形ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,以DC为直径的圆O交三角形ABC的边于G,F,E，D点，求证：F是BC的中点

如题：三角形ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,以DC为直径的圆O交三角形ABC的边于G,F,E D点，求证：（1）F是BC的中点 （2）<A=<GEF

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Answer 1

∵CE平分∠ACB
∴∠ACE=∠BCE
∵MN‖BC
∴∠BCE=∠OEC
∴∠OEC=∠OCE
∴OE=OC
同理：OF=OC
∴OE=OF
（2）当O为AC中点是四边形AECF为矩形
证明：∵OA=OC，OE=OF
∴四边形AECF是平行四边形
∵OE=OC=OF
∴∠ECF=90°
∴四边形AECF是矩形

Answer 2

注：E、F分别是AC，BC的中点
1、连接DF，因为CD是圆的直径，所以角DFC是直角，即DF垂直BC，因为AC垂直BC，所以DF平行AC，又因为D是AB的中点，所以F是BC的中点
2、因为DF平行AC，所以∠A=∠BDF，又因为∠EDF=∠GEF（同弧所对的圆周角相等），所以∠A=∠GEF