Question

六年级数学华罗庚杯竞赛题

a，b，c为三个自然数，且a大于b大于c，他们除以11的余数分别是2，7，9.那么（a+b+c)(a-b)(b-c)除以11的余数是？
麻烦详细一些，谢谢了

Answer 1

把（a+b+c)(a-b)(b-c)中的三项分别除以11，
则有 （a+b+c)(a-b)(b-c)/11
=（a/11+b/11+c/11)(a/11-b/11)(b/11-c/11)
他们的除得的整数部分舍去得余数部分是(2+7+9)(2-7)(7-9)=180
180除以11得余数为4
所以（a+b+c)(a-b)(b-c)除以11的余数是4

你还可以用笨一点的方法，取a=35,b=29,c=20,
代入（a+b+c)(a-b)(b-c)得84*6*9=4536 ， 4536除以11余4，答案相同。

Answer 2

(a+b+c)/11=x...（2+7+9）/11=（x+1）....7
（a-b)/11=y...(2-7)/11=(y-1)....6
(b-c)/11=z...(7-9）/11=（z-1）....9
（a+b+c)(a-b)(b-c)/11={11*（x+1）...7}{11*(y-1)...6}{11*(z-1)...9}/11
=w+(7*6*9)/11=(w+34)...4
所以余数为4

Answer 3

(a+b+c)÷11的余数是7；
(a—b)÷11的余数是1l+2—7=6；
(b—c)÷11的余数是11+7—9=9。
所求余数与7×6×9÷11的余数相同，是4。
（a+b+c)(a-b)(b-c)除以11的余数是4