Question

设λ1 λ2 是矩阵A的两个不同特征值,对应的特征向量分别为α1 α2

设λ1、 λ2 是矩阵A的两个不同特征值,对应的特征向量分别为α1、 α2
则α1、 A(α1+α2）线性无关的充分必要条件是

A. λ1=0
B. λ2=0
C. λ1≠0
D. λ2≠0

为什么？
为什么λ1=0，才能使k1恒为0？

Answer 1

证明:因为A的属于不同特征值的特征向量线性无关所以
α1,α2
线性无关又
A(α1+α2)
=
Aα1+Aα2
=
λ1α1+λ2α2当λ2=0时,α1,A(α1+α2)线性相关当λ2≠0时,α1,A(α1+α2)线性无关

Answer 2

这道题明明就是选D，楼上不要误导别人好吧！

Answer 3

选A，要使其线性无关。设k1α1+k2*A(α1+α2)=0，k1,k2只有为0时才能试等式成立。
对于 k1α1+k2*(λ1α1+λ2α2)=0
两边同乘α1，则有k1*α1^2+k2λ1*α1^2+0=0(因为λ1、λ2 是矩阵A的两个不同特征值，有α1*α2=0）
则有(k1+k2λ1)α1^2=0，要使式子恒为0，则只有(k1+k2λ1)=0，又因为要线性无关，所以λ1=0，才能使k1恒为0，k1和k2的值也不会随λ1值变化。
继而我们验证当λ1=0时， k1α1+k2*(λ1α1+λ2α2)=0就变为 k1α1+k2*λ2α2=0，因为α1和α2不可能对应成比例（α1*α2=0），即k1/k2=-λ2α2/α1,，所以只有k1=0和k2=0时使等式成立。

因为λ1为一个常量，若λ1不为0，那么k1=-λ1k2，此时k2是一个不确定值，因而只有令常量为0，使得这个式子恒成立。

Answer 4

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