Question

已知a+b+c=1，a²+b²+c²=2，a³+b³+c³=3。求（1）abc的值；

2）a^4+b
^4+c^4的值。

Answer 1

a+b+c=1……………………(1)
a²+b²+c²=2…………………(2)
a³+b³+c³=3…………………(3)
由(1)²得：a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=1……………………(4)
(2)×3-(1)得：a²+b²+c²-ab-bc-ca=5/2
(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)=a³+b³+c³-3abc=5/2
即：3-3abc=5/2
∴abc=1/6

由（4）得ab+ac+bc=-1/2
(ab+ac+bc)²=a²b²+a²c²+b²c²+2abc(a+b+c)
∴a²b²+a²c²+b²c²= (-1/2)²-1/3= -1/12
又∵(a²+b²+c²)²=a^4+b^4+c^4+2(a²b²+a²c²+b²c²)
∴a^4+b^4+c^4=4-(-1/12)=25/6

Answer 2