Question

已知:如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆O交BC于D,过点D作DE⊥AC于点E

延长DE交BA的延长线于点F。若AB=6，sinB=√5/5，求线段AF的长。

Answer 1

连接AD
∵AB是直径
∴∠ADB=90°
∴sinB=AD/AB
即AD/6=√5/5，AD=6√5/5
∵AD⊥BC，AB=AC
∴AD是等腰三角形ABC的中线，即BD=CD=√(AB²-AD²)=√[6²-(6√5/5)²]=12√5/5
∵DE⊥AC
∴射影定理：AD²=AE×AC(可以证明△ACD∽△ADE得)
AE=AD²/AC=(6√5/5)²/6=6/5

sinB=√5/5，cos2B=1-2sin²B=1-2×(√5/5)²=3/5
∵∠FAE=∠C+∠B=2∠B
∴在Rt△AEF中
cos2B=AE/AF
AF=AE/cos2B=(6/5)/(3/5)=2