Question

已知x∈ [0,1],函数f(x)=x^2-ln(x+1/2),g(x)=x^3-3a^2x-4a

求f(x)的单调区间和值域
设a≤-1，若任意X1∈ [0,1],总存在X0∈ [0，1]，使得g(x0)=f(x1)成立，求a的范围
对于任意正整数n，证明ln(1/n+1/2)＞1/(n^2)-(2/n )-1

Answer 1

解：1、f'(x)=（x+1）*（2x-1）/(x+1/2)
令f'(x)<0，得单调减区间[0，1/2]，值域[1/4，ln2]；
令f'(x)>0，得单调增区间[1/2，1]，值域[1/4，ln3-ln2]；
f(x)值域即为[1/4，ln2]。
2、根据所给条件，设g(x)在[0，1]上的值域为[b，c]，则有b<=1/4且c>=ln2
g'(x)=3x^2-3a^2<0，g(x)在[0,1]上位单调减函数，故
g(0)=-4a>=ln2，得a<=-ln2/4
g(1)=1-3a^2-4a<=1/4，得a<=-3/2或a>=1/6
又a≤-1，故a<=-3/2。
3、问题可转化为证明：对任意x∈(0，1)，h(x)=ln(x+1/2)-1/(n^2)-2/n-1恒为负。
h'(x)=[(2x-1/2)^2-17/4]<0，h(x)单调递减，
h(x)max=h(0)=ln(1/2)-1<0，故h(x)恒为负，证毕。
过程比较草率O(∩_∩)O哈哈~

Answer 2

解：1、f'(x)=（x+1）*（2x-1）/(x+1/2)
令f'(x)<0，得单调减区间[0，1/2]，值域[1/4，ln2]；
令f'(x)>0，得单调增区间[1/2，1]，值域[1/4，ln3-ln2]；
f(x)值域即为[1/4，ln2]。
2、根据所给条件，设g(x)在[0，1]上的值域为[b，c]，则有b<=1/4且c>=ln2
g'(x)=3x^2-3a^2<0，g(x)在[0,1]上位单调减函数，故
g(0)=-4a>=ln2，得a<=-ln2/4
g(1)=1-3a^2-4a<=1/4，得a<=-3/2或a>=1/6
又a≤-1，故a<=-3/2。
3、问题可转化为证明：对任意x∈(0，1)，h(x)=ln(x+1/2)-1/(n^2)-2/n-1恒为负。
h'(x)=[(2x-1/2)^2-17/4]<0，h(x)单调递减，
h(x)max=h(0)=ln(1/2)-1<0，故h(x)恒为负，证毕。
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Answer 3

解：1、f'(x)=（x+1）*（2x-1）/(x+1/2)
令f'(x)<0，得单调减区间[0，1/2]，值域[1/4，ln2]；
令f'(x)>0，得单调增区间[1/2，1]，值域[1/4，ln3-ln2]；
f(x)值域即为[1/4，ln2]。
2、根据所给条件，设g(x)在[0，1]上的值域为[b，c]，则有b<=1/4且c>=ln2
g'(x)=3x^2-3a^2<0，g(x)在[0,1]上位单调减函数，故
g(0)=-4a>=ln2，得a<=-ln2/4
g(1)=1-3a^2-4a<=1/4，得a<=-3/2或a>=1/6
又a≤-1，故a<=-3/2。
3、问题可转化为证明：对任意x∈(0，1)，h(x)=ln(x+1/2)-1/(n^2)-2/n-1恒为负。
h'(x)=[(2x-1/2)^2-17/4]<0，h(x)单调递减，
h(x)max=h(0)=ln(1/2)-1<0，故h(x)恒为负，证毕。
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