Question

在△ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足bcosC=（3a-c）cosB．（1）求cosB；（2）若

在△ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足bcosC=（3a-c）cosB．（1）求cosB；（2）若 BC ? BA =4，b=4 2 ，求边a，c的值．

Answer 1

（1）在△ABC中，∵bcosC=（3a-c）cosB，由正弦定理可得 sinBcosC=（3sinA-sinC）cosB， ∴3sinA?cosB-sinC?cosB=sinBcosC，化为：3sinA?cosB=sinC?cosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA． ∵在△ABC中，sinA≠0，故cosB= 1 3 ． （2）由 BC ? BA =4，b=4 2 ，可得，a?c?cosB=4，即 ac=12．…①． 再由余弦定理可得 b 2 =32=a 2 +c 2 -2ac?cosB=a 2 +c 2 - 2ac 3 ，即 a 2 +c 2 =40，…②． 由①②求得a=2，c=6； 或者a=6，c=2． 综上可得， a=2 b=6 ，或 a=6 b=2 ．