Question

已知，矩形ABCD中，延长BC至E，使BE=BD，F为DE的中点，连接AF、CF．求证：（1）∠ADF=∠BCF；（2）AF⊥CF

已知，矩形ABCD中，延长BC至E，使BE=BD，F为DE的中点，连接AF、CF．求证：（1）∠ADF=∠BCF；（2）AF⊥CF．

Answer 1

证明：（1）在矩形ABCD中， ∵AD=BC，∠ADC=∠BCD=90°， ∴∠DCE=90°， 在Rt△DCE中， ∵F为DE中点， ∴DF=CF， ∴∠FDC=∠DCF， ∴∠ADC+∠CDF=∠BCD+∠DCF， 即∠ADF=∠BCF； （2）连接BF， ∵BE=BD，F为DE的中点， ∴BF⊥DE， ∴∠BFD=90°，即∠BFA+∠AFD=90°， 在△AFD和△BFC中 AD=BC ∠ADF=∠BCF CF=DF ， ∴△ADF≌△BCF， ∴∠AFD=∠BFC， ∵∠AFD+∠BFA=90°， ∴∠BFC+∠BFA=90°， 即∠AFC=90°， ∴AF⊥FC．

Answer 2

证明：
（1）连结BF，
因为 ABCD是矩形，
所以 角ADC=角BCD=90度，三角形DEC是直角三角形，
又 F为DE中点，
所以 CF=DF，角CDF=角DCF，
所以 角ADC+角CDF=角BCD+角DCF,
所以 角ADF=角BCF。
（2）因为 角ADF=角BCF，AD=BC，CF=DF，
所以 三角形ADF全等于三角形BCF,
所以 角AFD=角BFC，
因为 BE=BD，F为DE的中点，
所以 BF垂直于DE，角BFD=90度，
即： 角AFD+角AFB=90度。
因为 角AFD=角BFC，
所以 角BFC+角AFB=90度，
即 角AFC=90度，
所以 AF垂直于CF。

Answer 3

证明：（1）在矩形ABCD中，
∵AD=BC，∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△DCE中，
∵F为DE中点，（斜边上的中线等于斜边的一半）
∴DF=CF，
∴∠FDC=∠DCF，
∴∠ADC+∠CDF=∠BCD+∠DCF，
即∠ADF=∠BCF；

（2）连接BF，

∵BE=BD，F为DE的中点，
∴BF⊥DE，
∴∠BFD=90°，即∠BFA+∠AFD=90°，
在△AFD和△BFC中： AD=BC ∠ADF=∠BCF CF=DF
∴△ADF≌△BCF，
∴∠AFD=∠BFC，
∵∠AFD+∠BFA=90°，
∴∠BFC+∠BFA=90°，
即∠AFC=90°，
∴AF⊥FC．

Answer 4

解答如下：