Question

高中数学，关于抽象函数

已知：定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x）。且当x∈[0，2）时，f（x）的最小值为-1
为什么“当x∈[-2，0）时，f（x）的最小值为-1/2
当x∈[-4，-2）时，f（x）的最小值为-1/4”？

【仅回答本问即可。】为了便于您理解题意，特告知：本题节选自http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/fa7990ee-ce2c-4d84-8e9f-4c0bf0a321ce

望大神解答，写出步骤，在下不胜感激~~~

Answer 1

答：
你问的这个问题很有代表性，很多人对这个问题感到迷茫。
下面我们来探讨一下。
首先，关于函数的周期性，多在三角函数里考查，抽象函数的周期性偶有涉及，即使出现也只是小题，并且不会单独考察周期性，要跟对称性结合，重点考察对称性。说到对称性，你可以研究高考题，历年必考。
其次，回答你的问题。
函数如果像你说的满足f（x＋2）＝—f（x），当然具有周期性，显然f（x＋4）＝f（x）嘛！对称轴无从判断。一般来说，函数的对称性与周期性、奇偶性是有着内在的联系的，如果抽象函数具备两个对称条件，一定可以求周期，比如关于两条直线对称、关于两个点中心对称、关于一条直线成轴对称又关于一个点成中心对称、或者知道奇偶性再知道一个对称轴或对称中心，那么这个时候你心里一定要知道必然可以求出周期，不至于没头绪乱变形转化。
至于关于某点中心对称，记住：卡住定义！比如，f（x＋4/3）＝—f（-x），显然（知道为什么显然吗？）关于点（2/3，0）成中心对称！反过来，如果知道f(x)关于某个点成中心对称，你也应该会把代数意义写出来。
这里说很具体也不太可能。就说这些吧。
祝你高考成功！

Answer 2

当x∈[-2，0）时，f（x）的最小值为-1/2
当x∈[-4，-2）时，
x+2∈[-2，0），
f（x+2）的最小值为-1/2，即f(x+2)≥-1/2,
又f（x+2）=2f（x），
2f(x)≥-1/2,
f(x)≥-1/4,
f（x）的最小值为-1/4