Question

观察下列等式：12×231=132×21，13×341=143×31，23×352=253×32，34×473=374×43，62×286=682×26

观察下列等式：12×231=132×21，13×341=143×31，23×352=253×32，34×473=374×43，62×286=682×26，…以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：①52× = ×25；② ×396 =693× ．（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．

Answer 1

解：（1）①∵5+2=7， ∴左边的三位数是275，右边的三位数是572， ∴52×275=572×25； ②∵左边的三位数是396， ∴左边的两位数是63，右边的两位数是36， ∴63×369=693×36； 故答案为：①275，572；②63，36； （2）∵左边两位数的十位数字为a，个位数字为b， ∴左边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a， 右边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b， ∴一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）， 证明：左边=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a] =（10a+b）（100b+10a+10b+a） =（10a+b）（110b+11a） =11（10a+b）（10b+a）， 右边=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a） =（100a+10a+10b+b）（10b+a） =（110a+11b）（10b+a） =11（10a+b）（10b+a）， 左边=右边， 所以“数字对称等式”一般规律的式子为： （10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b] ×（10b+a）．