已知椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为F（1，0），A，B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且
已知椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为F（1，0），A，B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且△APB面积的最大值为23．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线A...
已知椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为F（1，0），A，B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且△APB面积的最大值为23．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线AP与直线x=2交于点D．试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并证明你的结论．
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（Ⅰ）解：由题意可设椭圆C方程为：
+
=1（a＞b＞0），则
因为右焦点为F（1，0），△APB面积的最大值为2
，
所以
，
所以a=2，b=
，
所以椭圆C的方程为
+
=1．
（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切．
证明：由题意，设直线AP的方程为y=k（x+2）（k≠0）．
则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k）．
由直线方程代入椭圆方程可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0．
设点P的坐标为（x0，y0），则-2x0=
．
所以x0=
，y0=
．
因为点F坐标为（1，0），
当k=±
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
因为右焦点为F（1，0），△APB面积的最大值为2
| 3 |
所以
|
所以a=2，b=
| 3 |
所以椭圆C的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切．
证明：由题意，设直线AP的方程为y=k（x+2）（k≠0）．
则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k）．
由直线方程代入椭圆方程可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0．
设点P的坐标为（x0，y0），则-2x0=
| 16k2?12 |
| 3+4k2 |
所以x0=
| 6?8k2 |
| 3+4k2 |
| 12k |
| 3+4k2 |
因为点F坐标为（1，0），
当k=±
| 1 |
| 2 |
