Question

已知函数f（x）=e x -ax-1（a＞0，e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）≥0对

已知函数f（x）=e x -ax-1（a＞0，e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；（3）在（2）的条件下，证明： ( 1 n ) n +( 2 n ) n +…+( n-1 n ) n +( n n ) n ＜ e e-1 (其中n∈N*) ．

Answer 1

（1）由题意a＞0，f′（x）=e x -a， 由f′（x）=e x -a=0得x=lna． 当x∈（-∞，lna）时，f′（x）＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0． ∴f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增． 即f（x）在x=lna处取得极小值，且为最小值，其最小值为f（lna）=e lna -alna-1=a-alna-1．（5分） （2）f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f（x） min ≥0． 由（1），设g（a）=a-alna-1，所以g（a）≥0． 由g′（a）=1-lna-1=-lna=0得a=1． ∴g（a）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减， ∴g（a）在a=1处取得最大值，而g（1）=0． 因此g（a）≥0的解为a=1，∴a=1．（9分） （3）证明：由（2）知，对任意实数x均有e x -x-1≥0，即1+x≤e x ． 令 x=- k n （n∈N * ，k=0，1，2，3，…，n-1），则 0＜1- k n ≤ e - k n ． ∴ (1- k n ) n ≤( e - k n ) n = e -k ． ∴ ( 1 n ) n +( 2 n ) n +…+( n-1 n ) n +( n n ) n ≤ e -(n-1) + e -(n-2) +…+ e -2 + e -1 +1 = 1- e -n 1- e -1 ＜ 1 1- e -1 = e e-1 ．（14分）