Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的图象的相邻两对称中心的距离为π，且f（x+π

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的图象的相邻两对称中心的距离为π，且f（x+π2）=f（-x），则函数y=f（π4-x）是（　　）A．偶函数且在x=0处取得最大值B．偶函数且在x=0处取得最小值C．奇函数且在x=0处取得最大值D．奇函数且在x=0处取得最小值

Answer 1

∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象的相邻两对称中心的距离为π，
即

T

2

＝π，
∴T=2π，于是ω＝

2π

2π

＝1．
∴f（x）=Asin（x+φ）；
由f（x+

π

2

）=f（-x），得：Asin（x+

π

2

+φ）=Asin（-x+φ），
∴x+

π

2

+φ-x+φ=π+2kπ，即φ=

π

4

+kπ，k∈Z．
取k=0，得φ=

π

4

，
∴f（x）=Asin（x+

π

4

），
则y=f（

π

4

-x）=Asin（

π

4

?x+

π

4

）=Acosx，A＞0，
∴函数y=f（

π

4

-x）是偶函数且在x=0处取得最大值．
故选：A．