Question

已知数列{an}的前n项和Sn=n3-10n2（?n∈N*）．（1）求an；（2）求集合{n|an＜0，n∈N*}（用列举法表示）

已知数列{an}的前n项和Sn=n3-10n2（?n∈N*）．（1）求an；（2）求集合{n|an＜0，n∈N*}（用列举法表示）．

Answer 1

（1）n=1时，a₁=S₁=-9…（1分），
n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=n³-10n²-[（n-1）³-10（n-1）²]
=3n²-23n+11，…（5分）
n=1时，3n²-23n+11=-9，…（6分）
?n∈N^*，an＝3n2?23n+11．…（7分）
（2）方法一：由（1）得an＝3n2?23n+11＜0，…（8分）

23? 397

2×3

＜n＜

23+ 397

2×3

…（10分）
∵?n∈N^*，∴1≤n≤7，…（12分）
∴所求集合{n|an＜0，n∈N*}＝{1，2，3，4，5，6，7}．…（13分）
（2）方法二：设f（x）=x³-10x²，x∈[1，+∞），
则f′（x）=3x²-20x，…（10分）
由f′（x）=3x²-20x＜0，得0＜x＜

20

3

，…（11分）
由0＜n?1＜

20

3

，
?n∈N^*得n=2，3，4，5，6，7…（12分），
a₁=S₁=-9＜0，a₈=S₈-S₇=19＞0，
∴{n|an＜0，n∈N*}＝{1，2，3，4，5，6，7}．…（13分）