Question

已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4-b4=10（Ⅰ）求数列{an}与

已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4-b4=10（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{an?bn}的前n项和．

Answer 1

（Ⅰ）设等差数列的公差为d，等比数列的首项为q，
由a₁=b₁=2，得a₄=2+3d，b₄=2q³，s₄=8+6d，
由a₄+b₄=27，S₄-b₄=10，得方程组

2+3d+2q3＝27 8+6d?2q3＝10

，
解得

d＝3 q＝2

，
所以：a_n=3n-1，b_n=2ⁿ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n?b_n=（3n-1）?2ⁿ，
设数列{a_n?b_n}的前n项和为T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，
则T_n=2×2+5×2²+8×2³+…+（3n-1）×2ⁿ，①；
2T_n=2×2²+5×2³+…+（3n-4）×2ⁿ+（3n-1）×2ⁿ⁺¹，②．
由①-②得，-T_n=2×2+3×2²+3×2³+…+3×2ⁿ-（3n-1）×2ⁿ⁺¹
=

6×(1?2n)

1?2

-（3n-1）×2ⁿ⁺¹-2
=-（3n-4）×2ⁿ⁺¹-8．
所以T_n=（3n-4）×2ⁿ⁺¹+8．