Question

如图，抛物线y=-x2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（-4，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设

如图，抛物线y=-x2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（-4，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（图1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）设此抛物线与直线y=-x在第二象限交于点D，平行于y轴的直线x=m（-1-5＜m＜0）于点M，与直线y=-x交于点N，连接BM、CM、NC、NB，是否存在m的值，使四边形BNCM的面积S最大（图2）？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解答：解：（1）由抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（1，0）B（-4，0）两点，
将A、B两点坐标代入抛物线方程，得到：

1+b+c＝0 16?4b+c＝0

，
解得：

b＝?3 c＝4

，
所以，该抛物线的解析式为：y=-x²-3x+4；

（2）存在，
如图1，
∵x=0时，y=4，x=-

b

2a

=-1.5，
可得，C（0，4），对称轴为直线x=-1.5，
当QC+QA最小时，△QAC的周长就最小，
点A、B关于直线x=-1.5对称，
所以当点B、Q、C在同一直线上时QC+QA最小，
可得：设直线BC的解析式为 y=kx+d，
则

d＝4 ?4k+d＝0

，
解得：

k＝1 d＝4

，
故直线BC的解析式为 y=x+4，
则当x=-1.5时，y=2.5，
故在该抛物线的对称轴上存在点Q（-1.5，2.5），
使得△QAC的周长最小；

（3）如图2，
由题意，M（m，-m²-3m+4），N（m，-m），
故线段MN=-m²-3m+4-（-m）=-m²-2m+4，
∵S_{四边形BNCM}=S_△BMN+S_△CMN=

1

2

MN×BO=2MN，
∴S=-2m²-4m+8，
=-2（m+1）²+10，
故当m=-1时（在?1?

5

＜m＜0内），四边形BNCM的面积S最大．