Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．(Ⅰ)求证：平面AEC⊥平面PDB； (Ⅱ)当PD

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．(Ⅰ)求证：平面AEC⊥平面PDB； (Ⅱ)当PD= AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小。

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Answer 1

(Ⅰ)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD， ∵PD⊥底面ABCD， ∴PD⊥AC， ∴AC⊥平面PDB， ∴平面AEC⊥平面PDB。
(Ⅱ)解：设AC∩BD=D，连结OE， 由(I)知AC⊥平面PDB于O， ∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角， ∵O，E分别为DB，PB的中点， ∴OE∥PD，OE=PD， 又∵PD⊥底面ABCD， ∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO， 在Rt△AOE中， ， ∴∠AEO=45°，即AE与平面PDB所成的角为45°。