Question

在直角△ABC中，已知A（-3，0），B（3，0），直角顶点C．（1）点C的轨迹是什么，求其轨迹方程；（2）延长

在直角△ABC中，已知A（-3，0），B（3，0），直角顶点C．（1）点C的轨迹是什么，求其轨迹方程；（2）延长BC至D使得|DC|=|BC|，求点D的轨迹方程；（3）连接OD交AC于点P，求点P的轨迹方程．

Answer 1

（1）在直角△ABC中，由A（-3，0），B（3，0），可得|OC|=3，
C的轨迹是以O为圆心，OC=3的圆（除A、B两点外），
故其轨迹方程为：x²+y²=9（y≠0）；
（2）由题意可知，C为BD的中点，
设D（x，y），C（x₀，y₀），
则

x0＝ x+3 2 y0＝ y 2

，代入圆C是方程得(

x+3

2

)2+(

y

2

)2＝9(y≠0)，
即（x+3）²+y²=36（y≠0）；
（3）由题意可知，O为AB的中点，C为BD的中点，故P为△ABD的重心，
设P（x，y），D（x₁，y₁），
故

x＝ x1+3?3 3 ＝ x1 3 y＝ y1 3

，得到

x1＝3x y1＝3y

，
代入D的轨迹方程中得到（3x+3）²+（3y）²=36（y≠0），
即（x+1）²+y²=4（y≠0）．