Question

设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log2x]=3，若x0是方程f（x

设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log2x]=3，若x0是方程f（x）-f′（x）=2的一个解，则x0可能存在的区间是（　　）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）

Answer 1

设f（x）-log₂x=t，则f（x）=log₂x+t，且f（t）=3，
当x=t时，f（t）=log₂t+t=3，解得t=2，
∴f（x）=log₂x+2，f′（x）=

1

xln2

，
则由f（x）-f′（x）=2得log₂x+2-

1

xln2

=2，
即log₂x-

1

xln2

=0，
设g（x）=log₂x-

1

xln2

，则g（1）=-

1

ln2

＜0，g（2）=1-

1

2ln2

＞0，
∴根据根的存在性定理可知在（1，2）内g（x）存在零点，
即x₀∈（1，2），
故选：B．