Question

如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E．DF⊥AC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线．

如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E．DF⊥AC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）当∠B的度数是多少时，DE∥AB？并说明理由．

Answer 1

(1)证明见解析；（2）∠B=60°，理由见解析．

试题分析：（1）连接AD、OD，根据圆周角定理求出AD⊥BC，求出BD=DC，推出OD∥AC，求出OD⊥DF，根据切线的判定推出即可； （2）得出等边三角形ABC，求出∠BAC=60°，根据圆内接四边形的性质求出∠CED=60°，即可得出答案． （1）证明：连接OD、AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°，即AD⊥BC， ∵AB=AC， ∴BD=DC， ∵OA=OB， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴OD⊥DF， ∴DF是⊙O的切线； （2）解：当∠B=60°时，DE∥AB， 理由是：∵∠B=60°，AC=AB， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°， ∵A、E、D、B四点共圆， ∴∠CED=∠ABC=60°， ∴∠CED=∠CAB， ∴DE∥AB．