Question

z=xy如何判断是双曲抛物线，不做图的情况下

Answer 1

　　z=xy如何判断是双曲抛物线
　　设x=ε+η,y=ε-η; 那么z=(ε+η)(ε-η)=ε^2-η^2 ;也即为双曲抛物面（马鞍面）；把z=xy经过坐标变换就可以得出所给的方程的形式。
　　平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。[1] 抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。 它在几何光学和力学中有重要的用处。 抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。

Answer 2

书上介绍的是标准双曲抛物面的方程，其形式如你所说是：
z=x^2/a^2-y^2/b^2或z=-x^2/a^2+y^2/b^2；
而z=xy是双曲抛物面z=(x^2)/2-(y^2)/2绕z轴转动以后得到的方程，因为普通高等数学教材里是不介绍坐标轴旋转的，在专门的解析几何教材里才会有介绍。
不知道你是否学过线性代数，在二次型一章里介绍的正交变换，实际上就是保持图形形状不变的坐标变换。
z=xy是个二次型，其矩阵A=
0，1/2
1/2，0
A的特征值为：1/2，-1/2，
A的特征向量为（1/√2，1/√2)^T,(1/√2,-1/√2)^T
用正交变换
x=u/√2+v/√2
y=u/√2-v/√2
就可以使
z=xy=(u/√2+v/√2)(u/√2-v/√2)=(u^2)/2-(v^2)/2
这是在o-uvz坐标系下的双曲抛物面。

追问

好强大