Question

这题目怎么解？？？高三数学，理科的

Answer 1

20.(I)x=0时f(x)=0,
x>0时aln(x+1)+1/(x+1)+3x-1>=0恒成立，
<==>a>=[1-3x-1/(x+1)]/ln(x+1),
设u=x+1>1,
a>=[4-3u-1/u]/lnu=-(3u^2-4u+1)/(ulnu),记为g(u),
g'(u)=-[(6u-4)ulnu-(3u^2-4u+1)(lnu+1)]/(ulnu)^2
=[3u^2-4u+1-(3u^2-1)lnu]/(ulnu)^2,
设h(u)=3u^2-4u+1-(3u^2-1)lnu(u>1),
h'(u)=6u-4-6ulnu-(3u^2-1)/u
=3u-4+1/u-6ulnu,
h''(u)=3-1/u^2-6(lnu+1)
=-3-1/u^2-6lnu<0,
∴h'(u)是减函数，h'(u)<h'(1)=0,
∴h(u)是减函数，h(u)<h(1)=0,
∴g'(u)<0,g(u)是减函数，g(1+)→-（6u-4)/(lnu+1)→-2，
∴a>=-2,为所求.
(II)x>0时ln(1+x)<x,
∴ln(2n+1)-ln(2n-1)=ln[1+2/(2n-1)]<2/(2n-1),
(n+1)/(4n^2-1)-1/[2(2n-1)]=1/[2(4n^2-1)]>0,
∴(n+1)/(4n^2-1)>1/[2(2n-1)]>(1/4)[ln(2n+1)-ln(2n-1)],
n依次取1,2，……,n,把所得的n个不等式累加，即得待证式。