Question

为什么是在闭区间上连续,在开区间上可导

为什么是在闭区间上连续,在开区间上可导

Answer 1

可导是由极限推导出来的,之所以是开区间可导也是根据可导的极限表达式做出来的.
你可以这样想,如果在闭区间边界上可导,那么边界上的变化趋势怎么体现?超出闭区间的是不在定义域内的.也就是说闭区间边界上的可导是无法描述的，也就是没有意义的.所以在一般数学分析的教材中引入了“邻域”的概念.
同样,在闭区间上的连续也是为极限推可导服务的.之所以是闭区间是因为这样定义的连续更明确，否则由于我们定义“邻域”时未定义“邻域”到底有多大（当然，也不可能给出邻域具体大小的定义），也就无法得知连续函数的“起点”和“终点”.能确定连续函数的“起点”和“终点”，就可以得到一些确定的特性，如介值定理等.
与此同时，一些条件为开区间连续的函数，如果端点的极限在函数的极大极小值范围外，那么就不能用介值定理，可以考虑其他性质和解法，如构造新函数、其他方法找出符合要求的端点等.

Answer 2

因为区间之外的情况是未知的，在区间左端点，函数最多只能有右导数；在区间右端点，充其量也只能是存在左导数。而函数在一个点若要有导数，必须是左右导数都存在且相等，可见拉格朗日中值定理只能给出在区间内可导的条件。还要注意，如果再给出在区间端点存在右导数或左导数的条件行吗？没必要，够用就行，多一点就是累赘，数学讲究恰到好处。

这里就看出《高等数学》（简称高数）教材编写的窘境。高数由数学专业的支柱课程之一《数学分析》（简称数分）简化而成，但简化得太狠了，原因是非数学专业学生基础有限，学时也少，社会对数学也不重视，只是把它当成其他学科的工具，因而在编写高数教材时基本都把理论推导去掉了。在某些局部，还保留着数分的某些蛛丝马迹，比如一系列的中值定理。但由于来龙去脉无法交代得像数分那么详细，因而还留下种种费解的疑团。

很多学生，在中学阶段就靠死记硬背一些类型题来学数学，基础就不太牢靠。到了大学，又碰上这种怪怪的高数教材，当然很难真正深入理解。可以说高数真的没有多少技术含量，那些所谓高数考得高分者，也是因为本来在中学数学就比其他同学强，或者是由于老师要照顾大多数数学很难学好的同学只好降低要求而造成的。除了极少数参考书看得多的学生，大部分学生学高数就只能是知其然而不知其所以然。

而数学专业学生，如果要把后面几年的课程学好，数分就不能马虎对付。实际上这是一门极其严密细致高难刺激的课程，往往是由最好的老师来讲授，也只有部分学生学得比较扎实，一般名牌大学数学专业都有相当比例的学生能学好这门课。

全国的高数教材编写，几乎是一致的取舍，这也说明人口众多的大国在教育上的过度强调趋同而缺乏个性。从真正学会的角度来思考，我倒建议根据具体专业学生的情况，为他们量身定做合适的迷你版数分，别学这种没有挑战性而大多数学生还学不好的高数了。