Question

为什么说椭圆的标准方程不仅有对称美，而且反映椭圆的

Answer 1

椭圆的标准方程分两种情况：

当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x²/a²+y²/b²=1，(a>b>0)；

当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y²/a²+x²/b²=1，(a>b>0)；

其中a²-c²=b²，a是长半轴，b是短半轴，焦距是2c（两个焦点之间的距离）

在代数形式上，椭圆标准方程是二元二次方程。在几何形式上，椭圆是关于坐标轴对称的有界二次曲线。代数方程和几何曲线相对应，简洁唯美。

• 齐次性：

两个变量x和y刚好反应了椭圆这种二维曲线在XOY平面上的变化关系。

• 有界性：

变量x的二次项系数1/a²和变量y的二次项系数1/b²刚好使椭圆限制在长a宽b的矩形内部。当焦点在X轴时 -a≤x≤a，b≤y≤b。当焦点在Y轴时 -b≤x≤b，-a≤y≤a。

• 对称性：

不论焦点在X轴还是Y轴，椭圆始终关于X/Y/原点对称。

顶点：焦点在X轴时，长轴顶点(-a,0)，(a,0)，短轴顶点(0,b)，(0,-b)

焦点在Y轴时，长轴顶点(0,-a)，(0,a)，短轴顶点(b,0)，(-b,0)

焦点：当焦点在X轴上时焦点坐标F1(-c,0），F2(c,0)，

当焦点在Y轴上时焦点坐标F1(0,-c)，F2(0,c)

a、b的大小关系反应了椭圆的扁圆程度，可用离心率来判定。椭圆的离心率是椭圆扁平程度的一种量度，定义为椭圆两焦点间的距离和长轴长度的比值，用e表示，即e=c/a（c 半焦距，a长半轴）。可以形象地理解为，在椭圆的长轴不变的前提下，两个焦点离开中心的程度。

当a>>b时，即 b-->0, c²=a²-b² -->a² ，e-->1，两个焦点相隔越远，椭圆越扁。

当a-->b时，c²=a²-b² -->0 ，e-->0，两个焦点越来越靠近，椭圆越圆。

当a=b时，e=0，两个焦点重合，即变为圆，椭圆标准方程变为x²+y²=a²，转化为圆的标准方程，a即为圆的半径。

a、b的大小也决定了椭圆的面积。椭圆的面积公式是 S=πab

当a=b时，面积公式转化为 S=πa²，即圆的面积公式。

圆和椭圆之间的关系：椭圆包括圆，圆是特殊的椭圆。