Question

高数题：z=x^2+y^2在点(1,1)处函数值减少最快的方向是?

Answer 1

z = x² + y²，▽z = { 2x，2y }|(1,1) = { 2，2 }，增加最快的方向是{ 2，2 }，减少最快的方向是{ - 2，- 2 }。

当函数定义域和取值都在实数域中的时候，导数可以表示函数曲线上的切线斜率。 除了切线的斜率，导数还表示函数在该点的变化率。以两个自变量为例，z=f(x，y) ，从导数到偏导数，也就是从曲线来到了曲面，曲线上的一点，其切线只有一条。但是曲面的一点，切线有无数条。

扩展资料：

注意事项：

如果该函数的参数是直接输入的参数值，那么参数必须是数字，文本格式的数字或逻辑值。如果为文本，该函数将会返回#VALUE!错误值。

如果该函数的参数是单元格引用或数组，那么该函数只会计算数字，其他类型的值都会被忽略不计。

如果参数中的数值的个数为偶数，那么MEDIAN函数将会返回中间位置两个数的平均值。

参考资料来源：百度百科-函数值

Answer 2

z = x² + y²，▽z = { 2x，2y }|(1,1) = { 2，2 }，增加最快的方向是{ 2，2 }，减少最快的方向是{ - 2，- 2 }。

当函数定义域和取值都在实数域中的时候，导数可以表示函数曲线上的切线斜率。 除了切线的斜率，导数还表示函数在该点的变化率。以两个自变量为例，z=f(x，y) ，从导数到偏导数，也就是从曲线来到了曲面，曲线上的一点，其切线只有一条。但是曲面的一点，切线有无数条。

注意事项：

如果该函数的参数是直接输入的参数值，那么参数必须是数字，文本格式的数字或逻辑值。如果为文本，该函数将会返回#VALUE!错误值。

如果该函数的参数是单元格引用或数组，那么该函数只会计算数字，其他类型的值都会被忽略不计。

如果参数中的数值的个数为偶数，那么MEDIAN函数将会返回中间位置两个数的平均值。

以上内容参考：百度百科-函数值

Answer 3

就是梯度方向
z = x² + y²
▽z = { 2x，2y }|(1,1) = { 2，2 }
增加最快的方向是{ 2，2 }
减少最快的方向是{ - 2，- 2 }

Answer 4

曲面z=x^2+y^2+3在点m处的法向量
n=(2x,2y,-1)|m=(2,-2,-1)
写出切平面的方程
2(x-1)-2(y+1)-(z-5)=0
整理为
2x-2y-z+1=0
可以写成z=2x-2y+1
把平面和曲面z=x^2+y^2+2x-2y联立得到投影：x^2+y^2=1
所以体积
v=∫∫∫dxdydz=∫∫dxdy
∫(x^2+y^2+2x-2y->
2x-2y+1)dz
=∫∫(1-x^2-y^2)dxdy
=∫∫(1-r^2)rdrdθ
=∫(0->2π)dθ
∫(0->1)
(1-r^2)rdr
=π/2