Question

用向量证明

设四边形的一组对边BA,CD的延长线交于点E,另一组对边AD,BC的延长线交于点F,求证:AC的中点L,BD的中点M,EF的中点N三点共线

Answer 1

先画一个较为标准的图形。其次，以下大写字母均表示向量。证明：【1】取AD的中点R,连接MR,LR.LM.由三角形中位线定理可知，向量2RM=AB,且2LR=CD.∵向量LM=LR+RM.∴2LM=AB+CD.【2】取线段CE的中点S,连接NS,SL,NL.与前面同理可知，向量2NL=FC+EA.【3】易知，向量CE=CB+BE.由图形可知，以下向量因共线，故可设EA=aAB,FC=bBC,CE=xCD,BE=yAB,(a,b,x,y均为实数).∴结合CE=CB+BE===>xCD=yAB-BC.===>CD=(y/x)AB-(1/x)BC.∴2LM=AB+CD=AB+(y/x)AB-(1/x)BC=[1+(y/x)]AB-(1/x)BC.且2NL=FC+EA=aAB+bBC.∴向量LM=[(x+y)/2x]AB+[-1/(2x)]BC,向量NL=(a/2)AB+（b/2)BC.∴向量LM,NL共线，即三点L,M,N共线。

Answer 2

先画一个较为标准的图形。其次，以下大写字母均表示向量。证明：【1】取AD的中点R,连接MR,LR.LM.由三角形中位线定理可知，向量2RM=AB,且2LR=CD.∵向量LM=LR+RM.∴2LM=AB+CD.【2】取线段CE的中点S,连接NS,SL,NL.与前面同理可知，向量2NL=FC+EA.【3】易知，向量CE=CB+BE.由图形可知，以下向量因共线，故可设EA=aAB,FC=bBC,CE=xCD,BE=yAB,(a,b,x,y均为实数).∴结合CE=CB+BE===>xCD=yAB-BC.===>CD=(y/x)AB-(1/x)BC.∴2LM=AB+CD=AB+(y/x)AB-(1/x)BC=[1+(y/x)]AB-(1/x)BC.且2NL=FC+EA=aAB+bBC.∴向量LM=[(x+y)/2x]AB+[-1/(2x)]BC,向量NL=(a/2)AB+（b/2)BC.∴向量LM,NL共线，即三点L,M,N共线。