Question

求函数f(x)=2cos平方x+2sinx-1/2,x∈【-π/6,5π/6】的值域

Answer 1

解：
令sinx=t
∵x∈[π/6,5π/6]
∴sinx∈[1/2，1]
∴t∈[1/2，1]
f(t)=2t²+2t-1/2
对称轴为t=-1/2
∴f(t)在t<-1/2时单调递减，在t>-1/2时单调递增
∴f(t)min=f(1/2)=1
f(t)max=f(1)=7/2
∴值域为[1，7/2]

Answer 2

f（x）=2×（1-sin²x）+2sinx-1/2
=2-2sin²x+2sinx-1/2
令a=sinx，-1/2≤a≤1
f=-2a²+2a+3/2=-2（a²-a）+3/2=-2（a-1/2）²+3/2+1/2=-2（a-1/2）²+2
此为2次函数，二次项系数小于0，有最大值
那么x=1/2时，f最大值=2，
a=-1/2时，f最小值=0
所以f（x）的值域是[0,2]