Question

已知函数f(x)=x^2+ax+a/x,且a<1,用定义证明在x属于(1,无穷大)上增函数

已知函数f(x)=x^2+ax+a/x,且a<1
（1）用定义证明在x属于(1,无穷大)上增函数
（2）在（1）的条件下，若m满足f(3m）>f（5-2m),试确定m的取值范围
（3）设函数g(x)=F(X)*x+x^2-1的绝对值+（k-a)x-a,k为常数，若关于x的方程G(X)=0在（0,2)上恰有两个解x1 x2 ,求k的取值范围，并比较1/x1+1/x2与4的大小

（要详细点的过程，谢谢。好的可以再追加分）

Answer 1

解：设在x∈[1,+∞)上任取两点x1，x2，且x1>x2>=1
f(x1)-f(x2)=[(x1)^2+ax1+a]/x1-[(x2)^2+ax2+a]/x2
f(x1)-f(x2)={x2[(x1)^2+ax1+a]-x1[(x2)^2+ax2+a]}/x1x2
f(x1)-f(x2)=[x2(x1)^2-x1(x2)^2+ax2-ax1]/x1x2
f(x1)-f(x2)=[x1x2(x1-x2)-a(x1-x2)]/x1x2
f(x1)-f(x2)=[(x1-x2)(x1x2-a)]/x1x2
又因为x1>x2>=1，且a<1，所以x1x2>a>0,所以上式为正，那么原函数在区间x∈[1,+∞)单调递增，
第二问，因为这是一个增函数所以，
3m>5-2m
5-2m>=1
m>1
m<=2
所以,1<m<=2
第三问，因为g(x)=0
所以 x^2+ax+a+|x^2-1|+(k-a)x-a=0
x^2+kx+|x^2-1|=0
当0<x<1时，
x^2+kx-x^2+1=0
kx+1=0 (不能取)
那么只有当1<=x<2时，才行，
2x^2+kx-1=0
那么此时方程的根只能在0<x<2里面，所以对称轴也在这个区间里面，
0<-b/2a<2
0<-k/4<2
-8<k<0
同时,判别式=k^2+8>0,恒成立.
以及,当x=0,2时,函数值>=0,
我觉得是你题是不是有错呀！如果照这样做下去的话有问题的，
明明x1和x2均大于零的，可是根据韦达定理来，x1*x2=-1/2，两个正数相乘，怎么会变成负数呢！所以我觉得你的g(x)这个函数有点问题！抱歉了！

仅供参考,如有错误,请指正.